Circumcenter — The Center of the Circumscribed Circle
Every triangle, no matter its shape, has exactly one circumscribed circle.
임의의 세 점을 골라 삼각형을 만들어보세요. 그 세 점을 모두 지나는 원이 단 하나 존재합니다. 이 원을 삼각형의 외접원, 그 중심을 외심이라 합니다.
놀라운 사실은 — 이 외심이 단순히 어딘가에 존재하는 것이 아니라, 세 변의 수직이등분선이 정확히 한 점에서 만나는 자리라는 점입니다. 수직이등분선은 그 변의 양 끝점에서 같은 거리에 있는 점들의 집합 — 외심은 그 세 가지 조건을 동시에 만족합니다.
따라서 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 같습니다 — 그것이 바로 외접원의 반지름 $R$.
Where the three perpendicular bisectors meet — and why.
삼각형의 세 변의 수직이등분선이 만나는 점을 외심(circumcenter)이라 하고, 보통 $O$로 나타냅니다. 외심을 중심으로 세 꼭짓점을 지나는 원을 외접원이라 하며, 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 외접원의 반지름 $R$입니다.
따라서 세 수직이등분선은 반드시 한 점 $O$에서 만난다. Q.E.D.
외심의 위치는 삼각형의 모양에 따라 달라집니다.
외심 $O$에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같으므로 $\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCA$는 모두 이등변삼각형. 각 이등변삼각형의 두 밑각을 각각 $\alpha, \beta, \gamma$라 하면:
증명: $\angle A = \alpha + \gamma$, $\angle B = \alpha + \beta$, $\angle C = \beta + \gamma$. 셋의 합 $= 2(\alpha + \beta + \gamma) = 180°$ ⟹ $\alpha + \beta + \gamma = 90°$.
$\angle C = 90°$인 직각삼각형 $\triangle ABC$에서 빗변 $\overline{AB}$의 중점 $M$이 외심이 됩니다. 이때 외접원의 반지름은 빗변의 절반.
Step through the construction of the circumcenter.
Five quick checks on the circumcenter.
Using the circumcenter properties.
$\angle C = 180° - 50° - 70° = 60°$.
$\alpha + \gamma = \angle A = 50°$, $\alpha + \beta = \angle B = 70°$, $\beta + \gamma = \angle C = 60°$. 세 식을 더하면 $2(\alpha + \beta + \gamma) = 180°$이므로 $\alpha + \beta + \gamma = 90°$.
$\beta = 90° - (\alpha + \gamma) = 90° - \angle A = 90° - 50° = 40°$.
직각삼각형이므로 외심은 빗변 $\overline{AB}$의 중점. 외접원의 반지름 $R = \dfrac{\overline{AB}}{2} = \dfrac{26}{2} = 13$.
외접원의 넓이 $= \pi R^2 = \pi \times 13^2 = 169\pi$.
★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.
외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 한 점. 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있으므로 그 거리가 곧 외접원의 반지름. 직각삼각형의 외심은 특별히 빗변의 중점.